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math:transforms [2025-11-14 Fri 00:21] – ↷ Page moved and renamed from math to math:transforms theorytoemath:transforms [2025-11-19 Wed 18:52] (current) – [Laplace Transforms] fix sign on e^at*cos(kt) transform theorytoe
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 | $$t\cos(kt)$$                  | $$\frac{s^2-k^2}{(s^2+k^2)^2}$$ | | $$t\cos(kt)$$                  | $$\frac{s^2-k^2}{(s^2+k^2)^2}$$ |
 | $$e^{at}\sin(kt)$$             | $$\frac{k}{(s-a)^2-k^2}$$       | | $$e^{at}\sin(kt)$$             | $$\frac{k}{(s-a)^2-k^2}$$       |
-| $$e^{at}\cos(kt)$$             | $$\frac{s-a}{(s-a)^2-k^2}$$     |+| $$e^{at}\cos(kt)$$             | $$\frac{s-a}{(s-a)^2+k^2}$$     |
 | $$\frac{\sin{at}}{t}$$         | $$\text{atan}\left(\frac{a}{s}\right)$$    | | $$\frac{\sin{at}}{t}$$         | $$\text{atan}\left(\frac{a}{s}\right)$$    |
 | $$\dot{f}(t)$$                 | $$sF(s) -f(0)$$                 | | $$\dot{f}(t)$$                 | $$sF(s) -f(0)$$                 |
Line 52: Line 52:
 | $$u[n]$$                    | $$\frac{z}{z-1}=\frac{1}{1-z^{-1}}$$                                                                                     | $$|z| > 1$$           | | $$u[n]$$                    | $$\frac{z}{z-1}=\frac{1}{1-z^{-1}}$$                                                                                     | $$|z| > 1$$           |
 | $$a^nu[n]$$                 | $$\frac{z}{z-a}=\frac{1}{1-az^{-1}}$$                                                                                    | $$|z| > |a|$$         | | $$a^nu[n]$$                 | $$\frac{z}{z-a}=\frac{1}{1-az^{-1}}$$                                                                                    | $$|z| > |a|$$         |
-| $$nu[n]$$                   | $$\frac{z}{(z-1)^2}=\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2}$$                                                                        | $$|z| > 1$$           |+| $$nu[n]$$(($ramp(t)$))      | $$\frac{z}{(z-1)^2}=\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^2}$$                                                                        | $$|z| > 1$$           |
 | $$n^2u[n]$$                 | $$\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}=\frac{1+z^{-1}}{z(1-z^{-1})^2}$$                                                                | $$|z| > 1$$           | | $$n^2u[n]$$                 | $$\frac{z(z+1)}{(z-1)^3}=\frac{1+z^{-1}}{z(1-z^{-1})^2}$$                                                                | $$|z| > 1$$           |
 | $$na^nu[n]$$                | $$\frac{za}{(z-a)^2}=\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$$                                                                     | $$|z| > |a|$$         | | $$na^nu[n]$$                | $$\frac{za}{(z-a)^2}=\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$$                                                                     | $$|z| > |a|$$         |
Line 59: Line 59:
 | $$a^n\cos(\omega_0 n)u[n]$$ | $$\frac{z(z-a\cos(\omega_0))}{a^2-2az\cos(\omega_0)+1}=\frac{1-az^1\cos(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}}$$ | $$|z| > 1$$           | | $$a^n\cos(\omega_0 n)u[n]$$ | $$\frac{z(z-a\cos(\omega_0))}{a^2-2az\cos(\omega_0)+1}=\frac{1-az^1\cos(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}}$$ | $$|z| > 1$$           |
 | $$a^n\sin(\omega_0 n)u[n]$$ | $$\frac{az\sin(\omega_0)}{a^2-2az\cos(\omega_0)+z^2}=\frac{az^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}}$$  | $$|z| > 1$$           | | $$a^n\sin(\omega_0 n)u[n]$$ | $$\frac{az\sin(\omega_0)}{a^2-2az\cos(\omega_0)+z^2}=\frac{az^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}}$$  | $$|z| > 1$$           |
-| $$\text{ramp}[n]$$          | $$\frac{z}{(z-1)^2}$$                                                                                                    | $$|z| > 1$$           | 
 | $$e^{at}$$                  | $$\frac{z}{z-e^{at}}$$                                                                                                   | $$|z| > 1$$           | | $$e^{at}$$                  | $$\frac{z}{z-e^{at}}$$                                                                                                   | $$|z| > 1$$           |
  
math/transforms.1763079682.txt.gz · Last modified: by theorytoe

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